Solution de l'équation des ondes par moyennes sphériques

On considère l'équation des ondes avec conditions initiales $f,g\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$:\r\begin{equation}\r\label{wave2}\r\begin{cases}\r\partial_{t}^{2} u-\Delta u=0\\\ru(0,x)=f(x)\\\r\partial_t u(0,x)=g(x)\r\end{cases}\r\end{equation}\rSoit $u\in\mathcal{C}^{3}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3,\mathbb{R})$, vérifiant cette équation, alors:\r\[u(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} f(y)dS(y)\right)+\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} g(y)dS(y)\]