Solution de l'équation des ondes par moyennes sphériques

On considère l'équation des ondes avec conditions initiales $f,g\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^3)$: \begin{equation} \label{wave2} \begin{cases} \partial_{t}^{2} u-\Delta u=0\\ u(0,x)=f(x)\\ \partial_t u(0,x)=g(x) \end{cases} \end{equation} Soit $u\in\mathcal{C}^{3}(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3,\mathbb{R})$, vérifiant cette équation, alors: \[u(t,x)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} f(y)dS(y)\right)+\frac{1}{4\pi t}\int\limits_{S_t(x)} g(y)dS(y)\]