Théorème de Hahn Banach géométrique dans un Hilbert

lemme : Soit $H$ un espace de Hilbert réel, $C\subset H$ une partie (non vide) convexe et fermée et $H'$ l'ensemble des formes linéaires continues sur $H$. Di $ x\ otin C$. Alors il existe $f \in H'$ et $\alpha \in \R$ tels que $$\forall y \in C \quad f(x) < \alpha < f(y).$$ Théorème : Soient $A$ et $B$ deux convexes non vides disjoints. On suppose que $A$ est fermé et que $B$ est compact. Alors il existe un \"Hyperplan qui sépare strictement\" $A$ et $B$ c'est-à-dire qu'il existe $f\in H'$ tel que $$\sup_{x \in A} f(x) < \inf_{x\in B}f(x)$$