Nombres de Carmichael et théorème de Korselt
Soit $n$ un entier naturel. On dit que $n$ est un nombre de Carmichael si $a^n = a [n]$ pour tout entier $a$.\r\rUn entier naturel $n$ est de Carmichael ssi $n$ est sans facteur carré et pour tout nombre premier $p$ divisant $n$,\r\r$$ p-1 | n-1 $$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 120 | Anneaux Z/nZ. Applications.2025 |
| 5 | 121 | Nombres premiers. Applications.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
Un développement peu connu qui se recase très bien dans 120,121 et surtout 127 (la petite nouvelle de 2024) !
Il est moyennement difficile dans la mesure où je trouve les idées assez astucieuses par endroits, mais c'est beaucoup de calcul modulaire et d'applications du théorème de Lagrange pas très difficiles.
Je me suis efforcé à justifier toutes les congruences car certaines ne me paraissaient pas triviales, mais ça l'est peut-être pour d'autres...
Attention, le Rombaldi oublie un argument pour 3) implique 1), il faut mentionner le théorème chinois pour l'existence du $x$ tel que.... !
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Arutin Leref
Section 3.3.1 dans Demazure :
- c'est une application théorème chinois pour la partie sans facteur carré
- si N a un facteur carré, Demazure exhibe un élément d'ordre p, mais l'existence d'un tel élément est garantie par le théorème de Cauchy
Références :