Leçon #1492
Actif : true
Numero : 106
Titre : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral.\r\rCertains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il faudrait que les candidats sachent faire correspondre sous-groupes et noyaux ou stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). À quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral.\r\rCertains candidats affirment que $GL_n(K)$ est dense (respectivement ouvert) dans $M_n(K)$ . Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps K ainsi que la topologie sur $M_n(K)$.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $S_n$ dans $GL(n,R)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r
Rapport du jury 2015
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il serait bien que les candidats unifient la présentation de la leçon en faisant correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.).\r\rÀ quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(\mathbb{K})$ est dense (et ouvert) dans $M_n(\mathbb{K})$. Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps $\mathbb{K}$ ainsi que la topologie sur $M_n(\mathbb{K})$. \r\rLa présentation du pivot de Gauss et de ses applications se justifient pleinement.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,\mathbb{K})$ et faire le lien entre signature et déterminant. Dans le même ordre d'idée, la théorie des représentations permet d'illustrer, dans les leçons plus robustes, l'omniprésence de $GL_n(\mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire.\r
Cette leçon est souvent présentée comme un catalogue de résultats épars et zoologiques sur $GL(E)$. Il serait bien que les candidats unifient la présentation de la leçon en faisant correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.).\r\rÀ quoi peuvent servir des générateurs du groupe $GL(E)$ ? Qu'apporte la topologie dans cette leçon ? Il est préférable de se poser ces questions avant de les découvrir le jour de l'oral. Certains candidats affirment que $GL_n(\mathbb{K})$ est dense (et ouvert) dans $M_n(\mathbb{K})$. Il est judicieux de préciser les hypothèses nécessaires sur le corps $\mathbb{K}$ ainsi que la topologie sur $M_n(\mathbb{K})$. \r\rLa présentation du pivot de Gauss et de ses applications se justifient pleinement.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,\mathbb{K})$ et faire le lien entre signature et déterminant. Dans le même ordre d'idée, la théorie des représentations permet d'illustrer, dans les leçons plus robustes, l'omniprésence de $GL_n(\mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire.\r
Rapport du jury 2016
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler.\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
Rapport du jury 2017
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc. ). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations\rpermet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, symplectiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc. ). On doit présenter des systèmes de générateurs, étudier la topologie et préciser pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations\rpermet d’illustrer l’importance de $GL_n(C)$ et de son sous-groupe unitaire.
Rapport du jury 2019
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en précisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Rapport du jury 2020
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions\rnaturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en\rexpliquant l’importance du choix du corps de base. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le\rdésirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les\rsous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de savoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions\rnaturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en\rexpliquant l’importance du choix du corps de base. Les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant. S’ils le\rdésirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations permet d’illustrer l’importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les\rsous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Rapport du jury 2022
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de\rsavoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions\rnaturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe,\retc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en\rprécisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à\rdétailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations\rpermet d'illustrer l'importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également\rétudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Cette leçon ne doit pas se résumer à un catalogue de résultats épars sur $GL(E)$. Il est important de\rsavoir faire correspondre les sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions\rnaturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe,\retc.). On doit présenter des systèmes de générateurs de $GL(E)$ et étudier la topologie de ce groupe en\rprécisant pourquoi le choix du corps de base est important. Les liens avec le pivot de Gauss sont à\rdétailler. Il faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en remarquant que la théorie des représentations\rpermet d'illustrer l'importance de $GL(n,C)$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également\rétudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Rapport du jury 2023
Les premières définitions et propriétés générales du groupe linéaire doivent être présentées : familles de générateurs, les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. et sous-groupes remarquables. Il est important de savoir faire correspondre certains sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.).\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rIl est souhaitable de dégager des propriétés particulières r selon le corps de base, en particulier d'étudier les propriétés topologiques de ce groupe lorsque le corps est $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$. \r\rPour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent exploiter le fait que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n, \mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.
Les premières définitions et propriétés générales du groupe linéaire doivent être présentées : familles de générateurs, les liens avec le pivot de Gauss sont à détailler. et sous-groupes remarquables. Il est important de savoir faire correspondre certains sous-groupes du groupe linéaire avec les stabilisateurs de certaines actions naturelles (sur des formes quadratiques, sur des drapeaux, sur une décomposition en somme directe, etc.).\r\rIl faut aussi savoir réaliser $\mathfrak{S}_n$ dans $GL(n,K)$ et faire le lien entre signature et déterminant.\r\rIl est souhaitable de dégager des propriétés particulières r selon le corps de base, en particulier d'étudier les propriétés topologiques de ce groupe lorsque le corps est $\mathbb{R}$ ou \mathbb{C}$. \r\rPour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent exploiter le fait que la théorie des représentations permet d'illustrer l'importance de $GL(n, \mathbb{C})$ et de son sous-groupe unitaire. Ils peuvent également étudier les sous-groupes compacts maximaux et les sous-groupes fermés de $GL(n)$.