Théorème des trois séries de Kolmogorov

Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. Alors la série $\sum_n X_n$ converge presque sûrement si et seulement si les trois séries suivantes convergent \r(i) $\sum_n \mathbb{P}(|X_n|>1)$;\r(ii) $\sum_n \mathbb{V}(\overline{X}_n)$;\r(iii) $\sum_n \mathbb{E}(\overline{X}_n)$,\roù $\overline{X}_n$ est la variable aléatoire tronquée $X_n1_{|X_n\le1|}$.\r\rRéférences : $\textit{A Probability Path}$ de Resnick, et $\textit{Probability}$ de Breiman.