Consistance, stabilité et convergence du schéma par différence finie elliptique

On étudie le schéma des différences finis pour approcher la solution du problème : $$\begin{equation}\tag{E} \begin{cases} -u''(x)+q(x)u(x)=f(x),\quad x\in[0,1]\\ u(0)=u(1)=0\end{cases}\end{equation}$$ Le schéma des différences finis est alors si $q=0$ : $$\begin{equation}\tag{S} AU=F\end{equation}$$ où $A\in\mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ est la matrice de discrétisation du Laplacien, $F\in\mathbb{R}^N$ une interpolation de $f$ sur un maillage pas constant et $U\in \mathbb{R}^N$ une interpolation de notre solution approchée sur un maillage pas constant. <b>Proposition (Consistance du schéma) :</b> On suppose que la solution $u$ du problème (E) est de classe $\mathcal{C}^4$. Alors le schéma (S) est d'ordre $2$ pour la norme $\|\cdot\|_{\infty}$. <b>Proposition (Stabilité du schéma) :</b> Il existe une constante $C>0$ indépendante du pas de discrétisation tel que $|\!|\!|A^{-1}|\!|\!|_{\infty}\leq C$. <b>Théorème (Convergence du schéma) :</b> On suppose que la solution $u$ du problème (E) est de classe $\mathcal{C}^4$, on pose $\overline{U}=(u(x_i))_{1\leq i\leq N}$. Il existe une constante $C>0$ indépendante du pas de discrétisation tel que $\|U-\overline{U}\|_{\infty}\leq Ch^2$.