Leçon #48
Actif : false
Numero : 213
Titre : Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.2010
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2010
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. Il faut connaître quelques critères simples pour qu’une famille orthogonale forme une base hilbertienne. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. En revanche, la possibilité de construire de façon élémentaire le dit-projeté dans le cas particulier d’un sous-espace vectoriel de dimension finie semble inconnue de nombreux candidats. Les candidats doivent s’intéresser au sens $x = \sum_{ n \ge 0} ( x | e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{ n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et en justifiant la convergence.
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. Il faut connaître quelques critères simples pour qu’une famille orthogonale forme une base hilbertienne. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. En revanche, la possibilité de construire de façon élémentaire le dit-projeté dans le cas particulier d’un sous-espace vectoriel de dimension finie semble inconnue de nombreux candidats. Les candidats doivent s’intéresser au sens $x = \sum_{ n \ge 0} ( x | e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{ n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et en justifiant la convergence.