Leçon #1552
Actif : true
Numero : 262
Titre : Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connus. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. \r\rLes théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème limite central) doivent être énoncés. \r\rLes candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance), ou bien certains théorèmes de convergence pour les martingales. \r
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connus. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. \r\rLes théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème limite central) doivent être énoncés. \r\rLes candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance), ou bien certains théorèmes de convergence pour les martingales. \r
Rapport du jury 2015
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury.Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés.Les candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance).
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury.Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés.Les candidats plus aguerris pourront présenter le lemme de Slutsky (et son utilisation pour la construction d'intervalles de confiance).
Rapport du jury 2016
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de n variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples. \r\rPour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices, . . .) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de n variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples. \r\rPour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices, . . .) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
Rapport du jury 2017
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples.\r\rPour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés. On peut par ailleurs exiger de connaître au moins l’architecture des preuves. L’étude de maximum et minimum de $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi peut nourrir de nombreux exemples.\r\rPour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...) ou donner des inégalités de grandes déviations. Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon.
Rapport du jury 2019
Les théorèmes limite sont au cœur de cette leçon. La maîtrise des différentes définitions des modes de convergence est attendue mais doit être complétée par leur mise en pratique dans les différents théorèmes limites. Les différences entre ces théorèmes doivent être abordées avec des exemples et contre-exemples. $\\$ Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés et il faut au moins en connaître l’architecture des preuves. $\\$ Pour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...). Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon. $\\$ On peut aussi s’intéresser aux temps de retour pour une marche aléatoire simple. Pour aller plus loin, et pour les candidats maîtrisant ces notions, on peut suggérer aussi l’étude asymptotique de(s) chaînes de Markov, ou encore d’aborder les lois infiniment divisibles, les lois stables, les processus de renouvellement (qui donnent de beaux théorèmes de convergence).
Les théorèmes limite sont au cœur de cette leçon. La maîtrise des différentes définitions des modes de convergence est attendue mais doit être complétée par leur mise en pratique dans les différents théorèmes limites. Les différences entre ces théorèmes doivent être abordées avec des exemples et contre-exemples. $\\$ Les implications entre les divers modes de convergence, ainsi que les réciproques partielles doivent être connues. Des contre-exemples aux réciproques sont attendus par le jury. Les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite) doivent être énoncés et il faut au moins en connaître l’architecture des preuves. $\\$ Pour aller plus loin, les candidats pourront s’intéresser au comportement asymptotique de marches aléatoires (en utilisant par exemple le lemme de Borel-Cantelli, les fonctions génératrices,...). Enfin, les résultats autour des séries de variables aléatoires indépendantes comme le théorème de Kolmogorov peuvent tout à fait se placer dans cette leçon. $\\$ On peut aussi s’intéresser aux temps de retour pour une marche aléatoire simple. Pour aller plus loin, et pour les candidats maîtrisant ces notions, on peut suggérer aussi l’étude asymptotique de(s) chaînes de Markov, ou encore d’aborder les lois infiniment divisibles, les lois stables, les processus de renouvellement (qui donnent de beaux théorèmes de convergence).
Rapport du jury 2022
Les liens entre les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires devront être illustrés par des exemples et contre-exemples variés. Les théorèmes de convergence du programme (lois des grands nombres, théorème central limite) sont bien sûr au coeur de cette leçon, et la preuve de la loi forte des grands nombres, éventuellement sous des hypothèses de confort, pourra être présentée.\r\rLes candidats aguerris pourront aborder la convergence des séries de variables aléatoires indépendantes, les marches aléatoires, la loi du logarithme itéré, le théorème central limite dans $R^d$, les chaînes de Markov, les lois stables ou infiniment divisibles.
Les liens entre les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires devront être illustrés par des exemples et contre-exemples variés. Les théorèmes de convergence du programme (lois des grands nombres, théorème central limite) sont bien sûr au coeur de cette leçon, et la preuve de la loi forte des grands nombres, éventuellement sous des hypothèses de confort, pourra être présentée.\r\rLes candidats aguerris pourront aborder la convergence des séries de variables aléatoires indépendantes, les marches aléatoires, la loi du logarithme itéré, le théorème central limite dans $R^d$, les chaînes de Markov, les lois stables ou infiniment divisibles.