Leçon #1547
Actif : true
Numero : 245
Titre : Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpréş tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) ! \r
Le titre a changé. Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interpréş tation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z)dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) ! \r
Rapport du jury 2015
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues et l'interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu'il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le coeur de la leçon, il faut connaître la définition d'une fonction méromorphe (l'ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète). Pour les candidats aguerris, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan.
Rapport du jury 2016
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).\r\rLes résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité.\r\rPour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
Les conditions de Cauchy-Riemann doivent être parfaitement connues ş et l’interprétation de la différentielle en tant que similitude directe doit être comprise. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).\r\rLes résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité.\r\rPour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
Rapport du jury 2017
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).\r\rLa leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta, ...). \r\rPour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
Les résultats autour de l’analyticité, ou encore le principe du maximum, le principe des zéros isolés, sont bien sûr cruciaux. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notation $\int_\gamma f(z) dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. Par ailleurs, même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, il faut connaître la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète).\r\rLa leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta, ...). \r\rPour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre beaucoup de possibilités, notamment en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau mais qui nécessite une bonne maîtrise.
Rapport du jury 2019
Cet intitulé ne sera pas utilisé pour la session 2020 où il sera remplacé par $\\$ Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif d’offrir des points d’entrée plus variés à cette leçon. Ainsi, il est possible, dans un premier temps et si le candidat le souhaite, de parler de polynômes de la variable complexe, de fractions rationnelles, de séries entières, sans immédiatement exposer la théorie des fonctions holomorphes. Le jury attend des exemples illustrant ces notions et montrant la maîtrise des candidats sur ces points. $\\$ Concernant les questions d’holomorphie, outre la définition, la signification géométrique des équations de Cauchy-Riemann, la formule de Cauchy et les résultats concernant l’analyticité, le principe des zéros isolés, ou encore le principe du maximum, sont des attendus de cette leçon. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notationş $\int_{\gamma} f(z)dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta,...).Même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) peut être présentée à condition que cette notion soit maîtrisée et accompagnée d’exemples. Le jury attire l’attention sur le fait que le prolongement de la fonction Gamma en fonction méromorphe est très souvent proposé mais insuffisamment maîtrisé. Proposer un développement moins ambitieux mais maîtrisé est une stratégie plus payante, qui ouvre la discussion avec le jury de manière plus positive. $\\$ Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre des possibilités d’ouverture en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau qui ne doit pas être abordé sans une bonne maîtrise des questions en jeu.
Cet intitulé ne sera pas utilisé pour la session 2020 où il sera remplacé par $\\$ Fonctions d’une variable complexe. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif d’offrir des points d’entrée plus variés à cette leçon. Ainsi, il est possible, dans un premier temps et si le candidat le souhaite, de parler de polynômes de la variable complexe, de fractions rationnelles, de séries entières, sans immédiatement exposer la théorie des fonctions holomorphes. Le jury attend des exemples illustrant ces notions et montrant la maîtrise des candidats sur ces points. $\\$ Concernant les questions d’holomorphie, outre la définition, la signification géométrique des équations de Cauchy-Riemann, la formule de Cauchy et les résultats concernant l’analyticité, le principe des zéros isolés, ou encore le principe du maximum, sont des attendus de cette leçon. Le lemme de Schwarz est un joli résultat permettant de faire un développement élémentaire s’il est agrémenté d’applications pertinentes, comme par exemple déterminer les automorphismes du disque unité. La notationş $\int_{\gamma} f(z)dz$ a un sens précis, qu’il faut savoir expliquer. La leçon invite également à présenter le théorème d’holomorphie sous le signe intégral et des exemples de fonctions célèbres (par exemple la fonction Gamma, la fonction zêta,...).Même si cela ne constitue pas le cœur de la leçon, la définition d’une fonction méromorphe (l’ensemble des pôles doit être une partie fermée discrète) peut être présentée à condition que cette notion soit maîtrisée et accompagnée d’exemples. Le jury attire l’attention sur le fait que le prolongement de la fonction Gamma en fonction méromorphe est très souvent proposé mais insuffisamment maîtrisé. Proposer un développement moins ambitieux mais maîtrisé est une stratégie plus payante, qui ouvre la discussion avec le jury de manière plus positive. $\\$ Pour les candidats qui le souhaitent, cette leçon offre des possibilités d’ouverture en lien avec la topologie du plan. La preuve du théorème de l’application conforme de Riemann est par exemple un développement de très bon niveau qui ne doit pas être abordé sans une bonne maîtrise des questions en jeu.
Rapport du jury 2022
L'intitulé de cette leçon permet de l'aborder sous l'angle moins intimidant des séries entières, pour lesquelles on renvoie à la leçon 243.\r\rAu niveau de l'agrégation toutefois, on est en droit d'attendre des candidats une compréhension des résultats les plus fondamentaux de la théorie des fonctions holomorphes, ainsi qu'une autonomie raisonnable dans leur mise en oeuvre. Ce thème devra donc être abordé, et il peut l'être à différents niveaux, les candidats les plus aguerris pouvant aborder par exemple les théorèmes de Rouché ou de Hurwitz, le problème de la représentation conforme, l'équation fonctionnelle de la fonction ζ et ses conséquences, le théorème de Paley-Wiener, etc.
L'intitulé de cette leçon permet de l'aborder sous l'angle moins intimidant des séries entières, pour lesquelles on renvoie à la leçon 243.\r\rAu niveau de l'agrégation toutefois, on est en droit d'attendre des candidats une compréhension des résultats les plus fondamentaux de la théorie des fonctions holomorphes, ainsi qu'une autonomie raisonnable dans leur mise en oeuvre. Ce thème devra donc être abordé, et il peut l'être à différents niveaux, les candidats les plus aguerris pouvant aborder par exemple les théorèmes de Rouché ou de Hurwitz, le problème de la représentation conforme, l'équation fonctionnelle de la fonction ζ et ses conséquences, le théorème de Paley-Wiener, etc.