Leçon #1546
Actif : true
Numero : 243
Titre : Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. \r
Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. \r
Rapport du jury 2015
Le théorème d'Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d'exercices pertinents. Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. Le jury attend aussi que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu'une série entière en $0$ dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en $0$ en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série.
Le théorème d'Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d'exercices pertinents. Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. Le jury attend aussi que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu'une série entière en $0$ dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en $0$ en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série.
Rapport du jury 2016
Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est R est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$, ...). Le jury attend également que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus.\r\rLe théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est R est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$, ...). Le jury attend également que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus.\r\rLe théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
Rapport du jury 2017
Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé.\r\rLe théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule de Cauchy-Hadamard. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes ($\exp$, $\log$, $1/(1-z)$, $\sin$,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de 0 sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence vis à vis des différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) doit être maîtrisé.\r\rLe théorème d’Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On pourra aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière.
Rapport du jury 2019
Cette leçon est réformulée pour la session 2020 en $\\$ Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif de clarifier les attendus, dont font partie les propriétés élémentaires des séries entières. Trop de candidats hésitent sur les différentes notions de convergence, les notions de disque de convergence et des domaines où il y a convergence normale ; un effort de préparation doit être fait sur ces notions afin de lever toute imprécision. $\\$ Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule deCauchy-Hadamard ou toute technique utilisant une majoration ou un équivalent. Des faiblesses importantes ont été observées quant à ces techniques. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $\textbf{R}$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes (exp, log, $1/(1-z)$, sin,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de0sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. Le théorème d’Abel(radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On peut aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière ou encore la résolution de certaines équations différentielles ordinaires par la méthode du développement en série entière.
Cette leçon est réformulée pour la session 2020 en $\\$ Séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications. $\\$ Cette reformulation a pour objectif de clarifier les attendus, dont font partie les propriétés élémentaires des séries entières. Trop de candidats hésitent sur les différentes notions de convergence, les notions de disque de convergence et des domaines où il y a convergence normale ; un effort de préparation doit être fait sur ces notions afin de lever toute imprécision. $\\$ Les candidats évoquent souvent des critères (Cauchy, D’Alembert) permettant d’estimer le rayon de convergence mais oublient souvent la formule deCauchy-Hadamard ou toute technique utilisant une majoration ou un équivalent. Des faiblesses importantes ont été observées quant à ces techniques. Le jury attend bien sûr que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu’une série entière en 0 dont le rayon de convergence est $\textbf{R}$ est développable en série entière en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série. Sans tomber dans un catalogue excessif, on peut indiquer les formules de développement de fonctions usuelles importantes (exp, log, $1/(1-z)$, sin,...). S’agissant d’exemples fondamentaux et classiques, le jury attend que le candidat puisse les donner sans consulter ses notes. En ce qui concerne la fonction exponentielle, le candidat doit avoir réfléchi au point de vue adopté sur sa définition et donc sur l’articulation entre l’obtention du développement en série entière et les propriétés de la fonction. À ce propos, les résultats sur l’existence du développement en série entière pour les fonctions dont on contrôle toutes les dérivées successives sur un voisinage de0sont souvent méconnus. Le comportement de la série entière dans le disque de convergence en relation avec les différents modes de convergence (convergence absolue, convergence uniforme,convergence normale) doit être maîtrisé.La présentation des fonctions génératrices d’une variable aléatoire discrète peut tout à fait illustrer cette leçon. Le théorème d’Abel(radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d’exercices pertinents. Réciproquement, les théorèmes taubériens offrent aussi de jolis développements. On peut aller plus loin en abordant quelques propriétés importantes liées à l’analyticité de la somme d’une série entière ou encore la résolution de certaines équations différentielles ordinaires par la méthode du développement en série entière.
Rapport du jury 2022
Dans cette leçon, il faut se garder de présenter un interminable catalogue de définitions, règles et propriétés accompagnées de quelques rares exemples triviaux.\r\rLe problème du domaine de convergence devra bien sûr être abordé, ainsi que celui des différents modes de convergence.\r\rLes liens avec l'holomorphie doivent être connus et compris. En particulier, peu de candidats ont les idées claires sur les liens entre analycité et holomorphie. Or, l'existence de nombreux développements en série entière peut être établie de manière immédiate par cet argument, avec en prime une information sur le rayon de convergence, voire sur l'ordre de grandeur des coefficients.\r\rLe théorème radial (ou non tangentiel) d'Abel est souvent proposé comme développement, mais de nombreux candidats pensent qu'il s'agit d'un théorème de prolongement, alors qu'il s'agit en réalité d'un résultat de continuité. En proposer comme application le calcul de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ n'est pas absolument pertinent, ce résultat pouvant être obtenu par un argument beaucoup plus direct. En réalité, ce théorème débouche naturellement sur la question plus générale des procédés de sommation des séries divergentes.\r\rLes séries entières ont également des applications combinatoires pouvant donner lieu à des études asymptotiques très intéressantes. Les fonctions génératrices des variables aléatoires à valeurs entières ont également toute leur place dans cette leçon.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux théorèmes taubériens relatifs aux séries entières, au problème du prolongement analytique de la somme d'une série entière, aux séries entières aléatoires ou encore aux fonctions $C^\infty$ nulle part analytiques.
Dans cette leçon, il faut se garder de présenter un interminable catalogue de définitions, règles et propriétés accompagnées de quelques rares exemples triviaux.\r\rLe problème du domaine de convergence devra bien sûr être abordé, ainsi que celui des différents modes de convergence.\r\rLes liens avec l'holomorphie doivent être connus et compris. En particulier, peu de candidats ont les idées claires sur les liens entre analycité et holomorphie. Or, l'existence de nombreux développements en série entière peut être établie de manière immédiate par cet argument, avec en prime une information sur le rayon de convergence, voire sur l'ordre de grandeur des coefficients.\r\rLe théorème radial (ou non tangentiel) d'Abel est souvent proposé comme développement, mais de nombreux candidats pensent qu'il s'agit d'un théorème de prolongement, alors qu'il s'agit en réalité d'un résultat de continuité. En proposer comme application le calcul de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ n'est pas absolument pertinent, ce résultat pouvant être obtenu par un argument beaucoup plus direct. En réalité, ce théorème débouche naturellement sur la question plus générale des procédés de sommation des séries divergentes.\r\rLes séries entières ont également des applications combinatoires pouvant donner lieu à des études asymptotiques très intéressantes. Les fonctions génératrices des variables aléatoires à valeurs entières ont également toute leur place dans cette leçon.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux théorèmes taubériens relatifs aux séries entières, au problème du prolongement analytique de la somme d'une série entière, aux séries entières aléatoires ou encore aux fonctions $C^\infty$ nulle part analytiques.