Leçon #1539
Actif : true
Numero : 229
Titre : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Les candidats sont invités à réfléchir à l'incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. \r\rPour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction. \r
Les candidats sont invités à réfléchir à l'incidence de ces notions en théorie des probabilités. La dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat important. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. \r\rPour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction. \r
Rapport du jury 2015
Les propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle sont attendues. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\mathbb{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. Pour les candidats solides, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.
Les propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle sont attendues. Il est souhaitable d'illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs, même si ces dessins ne peuvent remplacer un calcul. On notera que la monotonie concerne (à ce niveau) les fonctions réelles d'une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\mathbb{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d'utilisation. Pour les candidats solides, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L'espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Pour les candidats aguerris, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité et les candidats bien préparés peuvent s'aventurer utilement dans cette direction.
Rapport du jury 2016
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d’utilisation.\r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$ , qui fournissent de beaux exemples d’utilisation.\r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
Rapport du jury 2017
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $||Ax-b||^2$ pourront illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $||Ax-b||^2$ pourront illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats maîtrisant ces notions peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
Rapport du jury 2019
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\textbf{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. $\\$ L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $\|Ax-b\|^2$ illustrent agréablement cette leçon. $\\$ Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
L’énoncé et la connaissance de la preuve de l’existence de limites à gauche et à droite pour les fonctions monotones sont attendues. Ainsi on doit parler des propriétés de continuité et de dérivabilité à gauche et à droite des fonctions convexes de la variable réelle. Il est souhaitable d’illustrer la présentation de la convexité par des dessins clairs. On notera que la monotonie concerne les fonctions réelles d’une seule variable réelle, mais que la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $\textbf{R}^n$, qui fournissent de beaux exemples d’utilisation. $\\$ L’étude de la fonctionnelle quadratique ou la minimisation de $\|Ax-b\|^2$ illustrent agréablement cette leçon. $\\$ Pour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions monotones est un résultat remarquable (dont la preuve peut être éventuellement admise). L’espace vectoriel engendré par les fonctions monotones (les fonctions à variation bornée) relève de cette leçon. Enfin, la dérivation au sens des distributions fournit les caractérisations les plus générales de la monotonie et de la convexité ; les candidats peuvent s’aventurer utilement dans cette direction.
Rapport du jury 2022
L'existence de limite à droite et à gauche pour les fonctions monotones ainsi que la régularité des fonctions convexes doivent bien sûr être abordées. La convexité est évidemment également une source inépuisable d'inégalités, dans divers domaines y compris les probabilités. \r\rSi la monotonie concerne les fonctions réelles d'une seule variable réelle, la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$. La recherche de leurs extrema constitue un riche thème d'étude.\rUne autre piste est l'étude et l'utilisation des fonctions de répartition en probabilités.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones, ou à la continuité, voire la différentiabilité, des fonctions convexes dé nies sur un ouvert convexe de $R^n$.
L'existence de limite à droite et à gauche pour les fonctions monotones ainsi que la régularité des fonctions convexes doivent bien sûr être abordées. La convexité est évidemment également une source inépuisable d'inégalités, dans divers domaines y compris les probabilités. \r\rSi la monotonie concerne les fonctions réelles d'une seule variable réelle, la convexité concerne également les fonctions définies sur une partie convexe de $R^n$. La recherche de leurs extrema constitue un riche thème d'étude.\rUne autre piste est l'étude et l'utilisation des fonctions de répartition en probabilités.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones, ou à la continuité, voire la différentiabilité, des fonctions convexes dé nies sur un ouvert convexe de $R^n$.