Leçon #1538
Actif : true
Numero : 228
Titre : Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
applications. Un plan découpé en deux parties (I : Continuité, II : Dérivabilité) n'est pas le mieux adapté. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La dérivabilité presque partout des fonctions Lipschitziennes relève de cette leçon. Enfin les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, etc ), sont les bienvenues. \r
applications. Un plan découpé en deux parties (I : Continuité, II : Dérivabilité) n'est pas le mieux adapté. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La dérivabilité presque partout des fonctions Lipschitziennes relève de cette leçon. Enfin les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, etc ), sont les bienvenues. \r
Rapport du jury 2015
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s'attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité par passage à la limite doit être comprise par les candidats.Pour les candidats aguerris, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes relève de cette leçon. Les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, ... ), sont les bienvenues.Pour les candidats qui maîtrisent la notion de dérivée au sens des distributions tempérées, l'étude de la dérivée au sens des distributions de la primitive d'une fonction intégrable est un résultat intéressant.
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s'attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d'un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité par passage à la limite doit être comprise par les candidats.Pour les candidats aguerris, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes relève de cette leçon. Les applications du théorème d'Ascoli (par exemple les opérateurs intégraux à noyau continu, le théorème de Peano, ... ), sont les bienvenues.Pour les candidats qui maîtrisent la notion de dérivée au sens des distributions tempérées, l'étude de la dérivée au sens des distributions de la primitive d'une fonction intégrable est un résultat intéressant.
Rapport du jury 2016
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s’attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. De façon plus fine, on peut s’intéresser aux fonctions continues nulle part dérivables.\r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes ou des fonctions monotones relève de cette leçon. Les applications du théorème d’Ascoli (avec, par exemple, des exemples d’opérateurs à noyaux compacts), sont les bienvenues. L’étude de la dérivée au sens des distributions de \r$x \in [a,b] \longmapsto \int_a^x f(t) dt$ pour une fonction intégrable $f \in L^1([a,b])$ est un résultat intéressant.
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s’attend à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. De façon plus fine, on peut s’intéresser aux fonctions continues nulle part dérivables.\r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes ou des fonctions monotones relève de cette leçon. Les applications du théorème d’Ascoli (avec, par exemple, des exemples d’opérateurs à noyaux compacts), sont les bienvenues. L’étude de la dérivée au sens des distributions de \r$x \in [a,b] \longmapsto \int_a^x f(t) dt$ pour une fonction intégrable $f \in L^1([a,b])$ est un résultat intéressant.
Rapport du jury 2017
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s’attend évidemment à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. De façon plus fine, on peut s’intéresser aux fonctions continues nulle part dérivables. \r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes ou des fonctions monotones relève de cette leçon. L’étude de la dérivée au sens des distributions de $x \in [a,b] \longmapsto \int_a^x f(t) dt$ pour une fonction intégrable $f \in L^1([a,b])$ est un résultat intéressant qui peut trouver sa place dans cette leçon.
Cette leçon permet des exposés de niveaux très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée. Le jury s’attend évidemment à ce que le candidat connaisse et puisse calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. De façon plus fine, on peut s’intéresser aux fonctions continues nulle part dérivables. \r\rPour aller plus loin, la dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes ou des fonctions monotones relève de cette leçon. L’étude de la dérivée au sens des distributions de $x \in [a,b] \longmapsto \int_a^x f(t) dt$ pour une fonction intégrable $f \in L^1([a,b])$ est un résultat intéressant qui peut trouver sa place dans cette leçon.
Rapport du jury 2019
Cette leçon est reformulée pour la session 2020 sous la forme $\\$ \"Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications. $\\$ \rCette leçon permet des exposés de niveaux, et de forme, très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée, le théorème de Rolle... Le jury s’attend évidemment à ce que les candidats connaissent et puissent calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. Pour aller plus loin, les propriétés de régularité des fonctions monotones et des fonctions convexes peuvent être mentionnées. La dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes peut aussi relever aussi de cette leçon. On peut enfin s’intéresser à des exemples de fonctions continues nulle part dérivables. $\\$ Le nouvel intitulé doit conduire à analyser la généralisation de la notion de dérivée d’une fonction de $\textbf{R}$ dans $\textbf{R}$ à l’aide du principe de calcul « par dualité/transposition » de la théorie des distributions. Plus qu’une analyse fonctionnelle poussée, le jury attend une certaine familiarité avec le calcul de dérivées faibles, dans ce cadre particulier de fonctions de $\textbf{R}$ dans $\textbf{R}$, qu’on n’hésitera pas à motiver par des applications (en physique, en théorie du signal,...). On peut étudier les liens entre dérivée classique et dérivée faible, calculer la dérivée faible de fonctions discontinues (formule des sauts, par exemple pour des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $\textbf{R}^*$ et $C^{\infty}$ par morceaux sur $\textbf{R}$ comme la fonction de Heaviside, la valeur absolue) ou de fonctions du type $x \mapsto \int_a^x f(y)dy$, f étant intégrable. On peut aussi relier la dérivée faible et la limite du taux d’accroissement au sens des distributions et établir le lien entre fonction croissante et dérivée faible positive. Il est également possible de parler du peigne de Dirac. Pour aller encore plus loin, des exemples de convergence au sens des distributions peuvent tout à fait illustrer cette leçon.
Cette leçon est reformulée pour la session 2020 sous la forme $\\$ \"Continuité, dérivabilité, dérivation faible des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications. $\\$ \rCette leçon permet des exposés de niveaux, et de forme, très variés. Les théorèmes de base doivent être maîtrisés et illustrés par des exemples intéressants, par exemple le théorème des valeurs intermédiaires pour la dérivée, le théorème de Rolle... Le jury s’attend évidemment à ce que les candidats connaissent et puissent calculer la dérivée des fonctions usuelles. Les candidats doivent disposer d’un exemple de fonction dérivable de la variable réelle qui ne soit pas continûment dérivable. La stabilité par passage à la limite des notions de continuité et de dérivabilité doit être comprise par les candidats. Pour aller plus loin, les propriétés de régularité des fonctions monotones et des fonctions convexes peuvent être mentionnées. La dérivabilité presque partout des fonctions lipschitziennes peut aussi relever aussi de cette leçon. On peut enfin s’intéresser à des exemples de fonctions continues nulle part dérivables. $\\$ Le nouvel intitulé doit conduire à analyser la généralisation de la notion de dérivée d’une fonction de $\textbf{R}$ dans $\textbf{R}$ à l’aide du principe de calcul « par dualité/transposition » de la théorie des distributions. Plus qu’une analyse fonctionnelle poussée, le jury attend une certaine familiarité avec le calcul de dérivées faibles, dans ce cadre particulier de fonctions de $\textbf{R}$ dans $\textbf{R}$, qu’on n’hésitera pas à motiver par des applications (en physique, en théorie du signal,...). On peut étudier les liens entre dérivée classique et dérivée faible, calculer la dérivée faible de fonctions discontinues (formule des sauts, par exemple pour des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $\textbf{R}^*$ et $C^{\infty}$ par morceaux sur $\textbf{R}$ comme la fonction de Heaviside, la valeur absolue) ou de fonctions du type $x \mapsto \int_a^x f(y)dy$, f étant intégrable. On peut aussi relier la dérivée faible et la limite du taux d’accroissement au sens des distributions et établir le lien entre fonction croissante et dérivée faible positive. Il est également possible de parler du peigne de Dirac. Pour aller encore plus loin, des exemples de convergence au sens des distributions peuvent tout à fait illustrer cette leçon.
Rapport du jury 2022
Au delà des théorèmes de base, le programme offre de nombreuses pistes aux candidats pour élaborer leur plan : utilisations de la continuité uniforme, fonctions convexes et leur régularité, approximation par des fonctions régulières, utilisations des formules de Taylor, liens entre caractère $C^\infty$ et analycité, etc.\rDes exemples explicites de fonctions continues et nulle part dérivables, de fonctions continues et croissantes à dérivée nulle presque partout, de fonctions $C^\infty$ à dérivées en un point prescrites, etc. sont les bienvenus dans cette leçon.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones ou lipschitziennes ou à celle de l'intégrale indéfinie d'une fonction intégrable, proposer diverses applications du théorème de Baire (continuité d'une limite simple de fonctions continues, points de continuité d'une dérivée, généricité des fonctions nulle part dérivables parmi les fonctions continues ou des fonctions nulle part analytiques parmi les fonctions $C^{\infty}$, etc.)
Au delà des théorèmes de base, le programme offre de nombreuses pistes aux candidats pour élaborer leur plan : utilisations de la continuité uniforme, fonctions convexes et leur régularité, approximation par des fonctions régulières, utilisations des formules de Taylor, liens entre caractère $C^\infty$ et analycité, etc.\rDes exemples explicites de fonctions continues et nulle part dérivables, de fonctions continues et croissantes à dérivée nulle presque partout, de fonctions $C^\infty$ à dérivées en un point prescrites, etc. sont les bienvenus dans cette leçon.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la dérivabilité des fonctions monotones ou lipschitziennes ou à celle de l'intégrale indéfinie d'une fonction intégrable, proposer diverses applications du théorème de Baire (continuité d'une limite simple de fonctions continues, points de continuité d'une dérivée, généricité des fonctions nulle part dérivables parmi les fonctions continues ou des fonctions nulle part analytiques parmi les fonctions $C^{\infty}$, etc.)