Leçon #1534
Actif : true
Numero : 221
Titre : Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Exemples et applications. On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie bien-sûr).\r\rLe cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problèmatiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devrait être exploitées. \r
Exemples et applications. On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie bien-sûr).\r\rLe cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problèmatiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devrait être exploitées. \r
Rapport du jury 2015
On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie, bien sûr).Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devraient être exploitées.
On attend d'un candidat qu'il sache déterminer rigoureusement la dimension de l'espace vectoriel des solutions (dans le cas de la dimension finie, bien sûr).Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. L'utilisation des exponentielles de matrices doit pouvoir s'expliquer. Dans le cas général, certains candidats évoquent les généralisations de l'exponentielle (résolvante) via les intégrales itérées. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l'analyse spectrale devraient être exploitées.
Rapport du jury 2016
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre.\r\rL’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. \r\rLe théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu, . . .) sont aussi d’autres possibilités.
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre.\r\rL’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. \r\rLe théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu, . . .) sont aussi d’autres possibilités.
Rapport du jury 2017
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à cœfficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre. \r\rL’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. \r\rLe théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités.
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à cœfficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre. \r\rL’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être exploitées. \r\rLe théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités.
Rapport du jury 2019
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre ; un trop grand nombre de candidats se trouve déstabilisé par ces questions. $\\$ L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici et doit être maîtrisée. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être davantage exploités dans cette leçon. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités. $\\$ Pour aller plus loin, la résolution au sens des distributions d’équations du type $T'+aT=S$ via la méthode de variation de la constante, ou des situations plus ambitieuses, trouvera sa place dans cette leçon.
Le jury attend d’un candidat qu’il sache déterminer rigoureusement la dimension de l’espace vectoriel des solutions. Le cas des systèmes à coefficients constants fait appel à la réduction des matrices qui doit être connue et pratiquée. Le jury attend qu’un candidat puisse mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre une équation différentielle linéaire d’ordre 2 simple (à coefficients constants par exemple) avec second membre ; un trop grand nombre de candidats se trouve déstabilisé par ces questions. $\\$ L’utilisation des exponentielles de matrices a toute sa place ici et doit être maîtrisée. Les problématiques de stabilité des solutions et le lien avec l’analyse spectrale devraient être davantage exploités dans cette leçon. Le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue un exemple de développement pertinent pour cette leçon. Les résultats autour du comportement des solutions, ou de leurs zéros, de certaines équations linéaires d’ordre 2 (Sturm, Hill-Mathieu,...) sont aussi d’autres possibilités. $\\$ Pour aller plus loin, la résolution au sens des distributions d’équations du type $T'+aT=S$ via la méthode de variation de la constante, ou des situations plus ambitieuses, trouvera sa place dans cette leçon.
Rapport du jury 2022
La théorie de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue une porte d'entrée obligée pour cette leçon. Elle constitue un des premiers triomphes historiques de l'utilisation de la complétude (méthode des approximations successives), et un exemple fondamental d'intervention de la dimension finie en analyse. \r\rSans que cet aspect devienne trop envahissant, les candidats pourront proposer quelques exemples de résolutions explicites : cas des coefficients constants (qui mobilise fortement la réduction des endomorphismes), utilisation de séries entières, variation des constantes, etc.\r\rMême dans le cadre linéaire, les études qualitatives présentent un grand intérêt et fournissent de nombreuses possibilités aux candidats : étude du comportement asymptotique des solutions (pour lequel le lemme de Gronwall est un outil d'une grande efficacité), de la distribution des zéros, etc.\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la linéarisation d'équations non linéaires au voisinage\rd'un point d'équilibre, proposer des exemples de problèmes aux limites (théorie de Sturm-Liouville)\rou d'études d'équations aux dérivées partielles linéaires.
La théorie de Cauchy-Lipschitz linéaire constitue une porte d'entrée obligée pour cette leçon. Elle constitue un des premiers triomphes historiques de l'utilisation de la complétude (méthode des approximations successives), et un exemple fondamental d'intervention de la dimension finie en analyse. \r\rSans que cet aspect devienne trop envahissant, les candidats pourront proposer quelques exemples de résolutions explicites : cas des coefficients constants (qui mobilise fortement la réduction des endomorphismes), utilisation de séries entières, variation des constantes, etc.\r\rMême dans le cadre linéaire, les études qualitatives présentent un grand intérêt et fournissent de nombreuses possibilités aux candidats : étude du comportement asymptotique des solutions (pour lequel le lemme de Gronwall est un outil d'une grande efficacité), de la distribution des zéros, etc.\rLes candidats solides pourront s'intéresser à la linéarisation d'équations non linéaires au voisinage\rd'un point d'équilibre, proposer des exemples de problèmes aux limites (théorie de Sturm-Liouville)\rou d'études d'équations aux dérivées partielles linéaires.