Leçon #1528
Actif : true
Numero : 213
Titre : Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. \r\rLa notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.\r\rEnfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé. \r
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, etc.). Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \geq 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)$ et en justifiant la convergence. \r\rLa notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.\r\rEnfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints compacts peut être abordé. \r
Rapport du jury 2015
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ).Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence.La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon.Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d'un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l'interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Il faut connaître quelques critères simples pour qu'une famille orthogonale forme une base hilbertienne et illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, ... ).Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d'un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s'intéresser au sens des formules $x = \sum_{n\ge 0} (x |e_n) e_n$ et $||x||^2 = \sum_{n \ge 0} (x|e_n)^2$ en précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathbb{N})$ en justifiant la convergence.La notion d'adjoint d'un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon.Pour des candidats solides, le programme permet d'aborder la résolution, et l'approximation, de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l'optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert devrait être plus souvent explorée.Enfin, pour les plus valeureux, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Rapport du jury 2016
Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .).\r\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de\rla projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument\rêtre connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème\rde projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H\rest régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\r$$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$\r\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, . . .).\r\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne. De plus, la formule de\rla projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument\rêtre connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gramm-Schmidt. Le théorème\rde projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H\rest régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\r$$ x = \sum_{n \ge 0} (x | e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} | (x|e_n)|^2 $$\r\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le difficile théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Rapport du jury 2017
Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...).\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de\rGramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\[\rx = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2\r\]\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint\rd’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Il est bon de connaître et savoir justifier le critère de densité des sous-espaces par passage à l’orthogonal. Il faut aussi illustrer la leçon par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier ,...).\rIl est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. De plus, la formule de la projection orthogonale sur un sous espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de\rGramm-Schmidt. Le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert H est régulièrement mentionné. Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules\r\[\rx = \sum_{n \ge 0} (x |e_n) e_n \text{ et } ||x||^2 = \sum_{n \ge 0} |(x | e_n)|^2\r\]\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n\in N}$ et en justifiant la convergence. La notion d’adjoint\rd’un opérateur continu peut illustrer agréablement cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée. Enfin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut être abordé.
Rapport du jury 2019
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \r$$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.
Il est important de faire la différence entre base algébrique et base hilbertienne, notions qui mettent en difficulté nombre de candidats. Toutefois cette année, le jury se réjouit d’avoir pu constater de réels efforts sur ce point. La formule de la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert doit absolument être connue de même que l’interprétation géométrique de la méthode de Gram-Schmidt. La leçon doit être illustrée par des exemples de bases hilbertiennes (polynômes orthogonaux, séries de Fourier, entre autres). $\\$ Les candidats doivent s’intéresser au sens des formules \r$$ x = \sum_{n\geq 0} (x|e_n)e_n \text{ et } \|x\|^2 = \sum_{n\geq 0} |(x|e_n)|^2 $$\ren précisant les hypothèses sur la famille $(e_n)_{n \in \mathcal{N}}$ et en justifiant la convergence. La notation $\sum_{m \in \mathcal{Z}}$ doit être manipulée avec précaution : beaucoup de candidats l’introduisent mais sans en maîtriser les subtilités. $\\$ Si le théorème de projection sur les convexes fermés (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) d’un espace de Hilbert $H$ est régulièrement mentionné, ses conséquences les plus directes (théorème de projection de Riesz, orthogonal de l’orthogonal et densité d’un sous-espace via la nullité de son orthogonal,...) le sont malheureusement nettement moins. La notion d’adjoint d’un opérateur continu peut alors être introduite et, pour aller plus loin, le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints compacts peut alors être abordé. $\\$ Pour aller plus loin dans une autre direction, le programme permet d’aborder la résolution et l’approximation de problèmes aux limites en dimension 1 par des arguments exploitant la formulation variationnelle de ces équations. La construction de l’espace de Hilbert–Sobolev $H_0^1(]0,1[)$ pourra donc éventuellement être abordée, ainsi que le théorème de Lax-Milgram avec des applications pertinentes. Plus généralement, l’optimisation de fonctionnelles convexes sur les espaces de Hilbert peut être explorée.
Rapport du jury 2022
L'analyse de Fourier, sur le cercle où la droite réelle, est évidemment une illustration fondamentale des résultats de ce chapitre. Le jury a noté que rares étaient les candidats qui maîtrisaient correctement la théorie $L^2$ des séries de Fourier.\rLe fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux propriétés spectrales des opérateurs autoadjoints compacts d'un espace de Hilbert, à la minimisation de fonctionnelles convexes et coercives sur un espace de Hilbert, ou encore au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, ou encore au théorème d'échantillonnage de Shannon.
L'analyse de Fourier, sur le cercle où la droite réelle, est évidemment une illustration fondamentale des résultats de ce chapitre. Le jury a noté que rares étaient les candidats qui maîtrisaient correctement la théorie $L^2$ des séries de Fourier.\rLe fait que les polynômes constituent une base hilbertienne de l'espace des fonctions de carré intégrable relativement à certains poids est présenté quasi systématiquement en développement. Peut-être faudrait-il songer à trouver d'autres sources d'inspiration, d'autant que la preuve n'est pas toujours parfaitement comprise, et que de nombreux candidats sont incapables d'en déduire une base hilbertienne de $L^2(R)$.\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser aux propriétés spectrales des opérateurs autoadjoints compacts d'un espace de Hilbert, à la minimisation de fonctionnelles convexes et coercives sur un espace de Hilbert, ou encore au théorème de Paley-Wiener qui caractérise les fonctions de $L^2(R)$ dont la transformée de Fourier est à support compact, ou encore au théorème d'échantillonnage de Shannon.