Leçon #1526
Actif : true
Numero : 208
Titre : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. \r\rUne telle leçon doit bien-sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples sans avoir aucune idée de leur étude et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rL'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial peu présenté. \r\rPour des candidats aguerris, la formulation variationnelle de problèmes elliptiques mono-dimensionnels peut donner lieu à des approfondissements intéressants. \r
La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. \r\rUne telle leçon doit bien-sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples sans avoir aucune idée de leur étude et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rL'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial peu présenté. \r\rPour des candidats aguerris, la formulation variationnelle de problèmes elliptiques mono-dimensionnels peut donner lieu à des approfondissements intéressants. \r
Rapport du jury 2015
La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent segarder des cercles vicieux.Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lequel il n'a aucune idée sur leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués.L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial et peu présenté.
La justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être donnée. Le théorème d'équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent segarder des cercles vicieux.Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d'illustrations et d'exemples. Lors du choix de ceux-ci (le jury n'attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lequel il n'a aucune idée sur leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués.L'analyse des constantes de stabilité pour l'interpolation de Lagrange fournit un exemple non trivial et peu présenté.
Rapport du jury 2016
Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rLa justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions.\r\rPour aller plus loin, on peut éventuellement considérer le cas d’espaces métrisables mais dont la métrique n’est pas issue d’une norme, par exemple dans le champ des espaces de fonctions analytiques (topologie de la convergence uniforme sur tout compact par exemple).
Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rLa justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions.\r\rPour aller plus loin, on peut éventuellement considérer le cas d’espaces métrisables mais dont la métrique n’est pas issue d’une norme, par exemple dans le champ des espaces de fonctions analytiques (topologie de la convergence uniforme sur tout compact par exemple).
Rapport du jury 2017
Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rLa justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues.
Une telle leçon doit bien sûr contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1} = A X_n$ doit être connu. Lors du choix de ceux-ci (le jury n’attend pas une liste encyclopédique), le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne pas se lancer dans des développements trop sophistiqués. \r\rLa justification de la compacité de la boule unité en dimension finie doit être maîtrisée. Il faut savoir énoncer le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. A contrario, des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues.
Rapport du jury 2019
Le jury rappelle qu’une telle leçon doit contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1}=AX_n$ doit être connu (et éventuellement illustré, sans que cela puisse être mis au cœur de la leçon, de considérations d’analyse numérique matricielle). Lors du choix de ces exemples, le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne passe lancer dans des développements trop sophistiqués. $\\$ Il faut savoir énoncer et justifier le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues. On peut aussi illustrer le théorème de Riesz sur des exemples simples dans le cas des espaces classiques de dimension infinie. $\\$ Les espaces de Hilbert ont également leur place dans cette leçon, mais le jury met en garde contre l’écueil de trop s’éloigner du cœur du sujet.
Le jury rappelle qu’une telle leçon doit contenir beaucoup d’illustrations et d’exemples, notamment avec quelques calculs élémentaires de normes subordonnées (notion qui met en difficulté un trop grand nombre de candidats). Le lien avec la convergence des suites du type $X_{n+1}=AX_n$ doit être connu (et éventuellement illustré, sans que cela puisse être mis au cœur de la leçon, de considérations d’analyse numérique matricielle). Lors du choix de ces exemples, le candidat veillera à ne pas mentionner des exemples pour lesquels il n’a aucune idée de leur pertinence et à ne passe lancer dans des développements trop sophistiqués. $\\$ Il faut savoir énoncer et justifier le théorème de Riesz sur la compacité de la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé. Le théorème d’équivalence des normes en dimension finie, ou le caractère fermé de tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé, sont des résultats fondamentaux à propos desquels les candidats doivent se garder des cercles vicieux. Des exemples d’espaces vectoriels normés de dimension infinie ont leur place dans cette leçon et il faut connaître quelques exemples de normes usuelles non équivalentes, notamment sur des espaces de suites ou des espaces de fonctions et également d’applications linéaires qui ne sont pas continues. On peut aussi illustrer le théorème de Riesz sur des exemples simples dans le cas des espaces classiques de dimension infinie. $\\$ Les espaces de Hilbert ont également leur place dans cette leçon, mais le jury met en garde contre l’écueil de trop s’éloigner du cœur du sujet.
Rapport du jury 2022
Cette leçon est particulièrement vaste, et sera pour le candidat une occasion de faire des choix. Il est inutile de commencer systématiquement le plan de cette leçon par de longs rappels sur les normes : comme toutes les autres, cette leçon ne doit pas tomber dans le formalisme, mais bien proposer des résultats significatifs illustrés par des exemples bien choisis, en particulier de normes équivalentes ou non, ou de calculs de normes subordonnées. En ce qui concerne le contenu, le programme offre de nombreuses possibilités : cas de la dimension finie, intervention de la complétude (en particulier le cas hilbertien), étude de la compacité de la boule unité fermée, lien entre continuité d'une forme linéaire (ou plus généralement, d'une application linéaire de rang fini) et fermeture du noyau. Pour les candidats solides, des prolongements possibles sont : les conséquences du théorème de Baire dans le cadre des espaces de Banach (tout particulièrement le théorème de Banach-Steinhaus et son utilisation pour construire des objets pathologiques), le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences, la théorie de algèbres de Banach, la détermination de duals topologiques.
Cette leçon est particulièrement vaste, et sera pour le candidat une occasion de faire des choix. Il est inutile de commencer systématiquement le plan de cette leçon par de longs rappels sur les normes : comme toutes les autres, cette leçon ne doit pas tomber dans le formalisme, mais bien proposer des résultats significatifs illustrés par des exemples bien choisis, en particulier de normes équivalentes ou non, ou de calculs de normes subordonnées. En ce qui concerne le contenu, le programme offre de nombreuses possibilités : cas de la dimension finie, intervention de la complétude (en particulier le cas hilbertien), étude de la compacité de la boule unité fermée, lien entre continuité d'une forme linéaire (ou plus généralement, d'une application linéaire de rang fini) et fermeture du noyau. Pour les candidats solides, des prolongements possibles sont : les conséquences du théorème de Baire dans le cadre des espaces de Banach (tout particulièrement le théorème de Banach-Steinhaus et son utilisation pour construire des objets pathologiques), le théorème de Hahn-Banach et ses conséquences, la théorie de algèbres de Banach, la détermination de duals topologiques.