Leçon #1525
Actif : true
Numero : 206
Titre : Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2023
(Rapport 2022) \r\rCette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du\rprogramme.\r\rEn topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties\rcompactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces\rtangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de\rdimension finie.\r\rLes candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme\rd'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre\rla régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire\rdes fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs\rcompacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.
(Rapport 2022) \r\rCette leçon d'exemples sera pour le candidat l'occasion d'une réflexion sur de nombreuses parties du\rprogramme.\r\rEn topologie, il s'agit bien sûr des propriétés spécifiques aux espaces normés de dimension finie, notamment l'utilisation des valeurs d'adhérence, l'équivalence des normes ou encore l'identité entre parties\rcompactes et parties fermées et bornées. D'autres champs d'application sont : la théorie de la mesure (mesure de Lebesgue sur $R^d$), le calcul différentiel (utilisation de matrices jacobiennes, espaces\rtangents, extrema liés, etc.), les équations différentielles linéaires, les séries de Fourier et plus généralement l'approximation dans un espace préhilbertien séparable par projection sur des sous-espaces de\rdimension finie.\r\rLes candidats solides pourront aborder la question de l'unicité de la meilleure approximation uniforme\rd'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, ou les liens entre\rla régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire\rdes fonctions rationnelles. D'autres pistes possibles sont l'étude des propriétés spectrales des opérateurs\rcompacts, ou le théorème de Grothendieck sur les sous-espaces fermés de $L^p$ contenus dans $L^\infty$.