Leçon #1524
Actif : true
Numero : 205
Titre : Espaces complets. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. \r\rLes espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. \r\rLe théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force. \r
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiel de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de CauchyLipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. \r\rLes espaces $L_p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. \r\rLe théorème de Baire trouve naturellement sa place dans cette leçon, mais il faut l'accompagner d'applications. Rappelons que celles-ci ne se limitent pas aux théorèmes de Banach-Steinhaus et du graphe fermé, mais qu'on peut évoquer au niveau de l'agrégation l'existence de divers objets : fonctions continues nulle part dérivables, points de continuité pour les limites simples de suites de fonctions continues, vecteurs à orbite dense pour certains opérateurs linéaires, etc. Les candidats prendront toutefois garde à ne pas présenter des applications de ce théorème au dessus de leur force. \r
Rapport du jury 2015
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles.On ne s'aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l'existence d'une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est réservée aux candidats solides.
Les candidats devraient faire apparaître que l'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence en dimension infinie, en particulier dans les espaces de fonctions. Rappelons que l'on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Le théorème de Cauchy-Lipschitz, mal maîtrisé par beaucoup de candidats, est un point important de cette leçon. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles.On ne s'aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l'existence d'une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est réservée aux candidats solides.
Rapport du jury 2016
Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Rappelons ici que l’on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème de Cauchy-Lipschitz ou le théorème du point fixe des applications contractantes. \r\rOn ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est délicate.
Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Rappelons ici que l’on attend des candidats une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème de Cauchy-Lipschitz ou le théorème du point fixe des applications contractantes. \r\rOn ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Rappelons à ce propos que la démonstration détaillée de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point est délicate.
Rapport du jury 2017
Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Un candidat à l’agrégation doit manifester une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles (les $l^p(N)$ fournissent déjà de beaux exemples). On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème du point fixe des applications contractantes et le théorème de Cauchy-Lipschitz.\r\rOn ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Le jury met en garde sur le caractère délicat de la démonstration détaillée, souvent tentée, rarement réussie, de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point.
Les candidats devraient faire apparaître que l’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans R ou C mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels, dont on sait justifier la complétude. Un candidat à l’agrégation doit manifester une bonne maîtrise de la convergence uniforme. Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles (les $l^p(N)$ fournissent déjà de beaux exemples). On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème du point fixe des applications contractantes et le théorème de Cauchy-Lipschitz.\r\rOn ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans application pertinente et maîtrisée ; elles sont nombreuses. Le jury met en garde sur le caractère délicat de la démonstration détaillée, souvent tentée, rarement réussie, de l’existence d’une partie dense de fonctions continues dérivables en aucun point.
Rapport du jury 2019
L’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$ mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels,dont on sait justifier la complétude. Un candidat à l’agrégation doit manifester une bonne maîtrise de la convergence uniforme. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème du point fixe des applications contractantes et le théorème de Cauchy-Lipschitz. $\\$ Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles (les $l^p(\textbf{N})$, peut-être plus accessibles, fournissent déjà de beaux exemples). $\\$ On ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans applications pertinentes et maîtrisées (elles sont nombreuses). Un développement autour des fonctions continues nulle part dérivables est très souvent proposé, mais extrêmement rares sont les candidats qui arrivent avec succès jusqu’au bout. Le jury attire l’attention sur le fait qu’il existe des preuves constructives de ce résultat qui n’utilisent pas le théorème de Baire. $\\$ La construction de l’espace $H_0^1(]0,1[) $ pourra être abordée par les candidats qui le souhaitent avec des applications illustrant l’intérêt de cet espace.
L’un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d’existence : que ce soit tout simplement dans $\textbf{R}$ ou $\textbf{C}$ mais aussi dans certains espaces de dimension infinie (par exemple dans certains espaces de fonctions). Il est important de présenter des exemples d’espaces usuels,dont on sait justifier la complétude. Un candidat à l’agrégation doit manifester une bonne maîtrise de la convergence uniforme. On peut évoquer dans cette leçon des théorèmes classiques tels que le théorème du point fixe des applications contractantes et le théorème de Cauchy-Lipschitz. $\\$ Les espaces $L^p$ sont des exemples pertinents qui ne sont pas sans danger pour des candidats aux connaissances fragiles (les $l^p(\textbf{N})$, peut-être plus accessibles, fournissent déjà de beaux exemples). $\\$ On ne s’aventurera pas à parler du théorème de Baire sans applications pertinentes et maîtrisées (elles sont nombreuses). Un développement autour des fonctions continues nulle part dérivables est très souvent proposé, mais extrêmement rares sont les candidats qui arrivent avec succès jusqu’au bout. Le jury attire l’attention sur le fait qu’il existe des preuves constructives de ce résultat qui n’utilisent pas le théorème de Baire. $\\$ La construction de l’espace $H_0^1(]0,1[) $ pourra être abordée par les candidats qui le souhaitent avec des applications illustrant l’intérêt de cet espace.
Rapport du jury 2022
L'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence. Les illustrations ne manquent pas : existence de limites, utilisation de la convergence absolue ou normale, théorème du point fixe de Picard-Banach, prolongement des applications uniformément continues à valeurs dans un espace métrique complet, et leurs innombrables applications.\r\rLe cas particulier des espaces de Hilbert est un riche terrain d'exploration : théorème de projection sur un convexe fermé et ses applications, analyse de Fourier sur le cercle ou sur la droite réelle. Les espaces $L^p$ peuvent être abordés dans le cadre de cette leçon, mais sous leur angle spécifique d'espaces de Banach.\r\r\rPour les candidats solides, le théorème de Baire fournit d'innombrables applications passionnantes. Ils pourront également songer à la théorie des algèbres de Banach, notamment l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, ou à l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact
L'un des intérêts essentiels de la complétude est de fournir des théorèmes d'existence. Les illustrations ne manquent pas : existence de limites, utilisation de la convergence absolue ou normale, théorème du point fixe de Picard-Banach, prolongement des applications uniformément continues à valeurs dans un espace métrique complet, et leurs innombrables applications.\r\rLe cas particulier des espaces de Hilbert est un riche terrain d'exploration : théorème de projection sur un convexe fermé et ses applications, analyse de Fourier sur le cercle ou sur la droite réelle. Les espaces $L^p$ peuvent être abordés dans le cadre de cette leçon, mais sous leur angle spécifique d'espaces de Banach.\r\r\rPour les candidats solides, le théorème de Baire fournit d'innombrables applications passionnantes. Ils pourront également songer à la théorie des algèbres de Banach, notamment l'algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, ou à l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert de $C$ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact