Leçon #1521
Actif : true
Numero : 201
Titre : Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2016
C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. \r\rPour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau.
C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. \r\rPour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau.
Rapport du jury 2017
C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. \r\rPour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans\rcette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau ou, dans une autre direction, l’espace de Sobolev $H^1$.
C’est une leçon riche où le candidat devra choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer. Les espaces de fonctions continues sur un compact (par exemple l’intervalle $[0,1]$) offrent des exemples élémentaires et pertinents. Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces de fonctions continues et les bases de la convergence uniforme. Dans ce domaine, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue. Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. \r\rPour aller plus loin, d’autres espaces usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans\rcette leçon. Le théorème de Riesz-Fischer est alors un très bon développement pour autant que ses difficultés soient maîtrisées. Les espaces de fonctions holomorphes sur un ouvert de C constituent aussi une ouverture de très bon niveau ou, dans une autre direction, l’espace de Sobolev $H^1$.
Rapport du jury 2019
C’est une leçon riche où le candidat doit choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer et bien délimiter le champ qu’il se propose d’explorer. Le jury attend que les candidats aient réfléchi à leur choix et les illustrent avec des applications et exemples, ce qui parfois peut manquer dans la présentation. $\\$ Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces normés composés de fonctions continues sur $\textbf{R}$ ou une partie compacte de $\textbf{R}$ et les propriétés de l’espace selon la norme dont il est muni. La norme $\|.\|_{\infty}$ est naturellement associée à la convergence uniforme dont il faut avoir assimilé les bases (en particulier, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue). On peut aussi envisager les variantes faisant intervenir une ou plusieurs dérivées. $\\$ Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces de Banach usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon, ainsi que les espaces de Sobolev, certains espaces de fonctions holomorphes (Hardy, Bergman), ou dans une autre direction, la structure de l’espace de Schwartz $S(\textbf{Z})$ ou de l’espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\textbf{R}$ peuvent offrir des ouvertures de très bon niveau. $\\$ Il est tout à fait bienvenu, et nombre de candidats ne s’en privent pas, de discuter les relations entre ces espaces, notamment de densité et de présenter des applications de ces propriétés.
C’est une leçon riche où le candidat doit choisir soigneusement le niveau auquel il souhaite se placer et bien délimiter le champ qu’il se propose d’explorer. Le jury attend que les candidats aient réfléchi à leur choix et les illustrent avec des applications et exemples, ce qui parfois peut manquer dans la présentation. $\\$ Les candidats peuvent se concentrer dans un premier temps sur les espaces normés composés de fonctions continues sur $\textbf{R}$ ou une partie compacte de $\textbf{R}$ et les propriétés de l’espace selon la norme dont il est muni. La norme $\|.\|_{\infty}$ est naturellement associée à la convergence uniforme dont il faut avoir assimilé les bases (en particulier, le jury attend une maîtrise du fait qu’une limite uniforme de fonctions continues est continue). On peut aussi envisager les variantes faisant intervenir une ou plusieurs dérivées. $\\$ Les espaces de Hilbert de fonctions comme l’espace des fonctions $L^2$ constituent ensuite une ouverture déjà significative. Pour aller plus loin, d’autres espaces de Banach usuels tels que les espaces $L^p$ ont tout à fait leur place dans cette leçon, ainsi que les espaces de Sobolev, certains espaces de fonctions holomorphes (Hardy, Bergman), ou dans une autre direction, la structure de l’espace de Schwartz $S(\textbf{Z})$ ou de l’espace des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\textbf{R}$ peuvent offrir des ouvertures de très bon niveau. $\\$ Il est tout à fait bienvenu, et nombre de candidats ne s’en privent pas, de discuter les relations entre ces espaces, notamment de densité et de présenter des applications de ces propriétés.
Rapport du jury 2022
Sans sortir du programme, le candidat dispose d'au moins deux thèmes très riches pour nourrir son plan : espaces de fonctions continues sur un compact, espaces $L^p$ sur le cercle ou sur la droite réelle. Sur le premier sujet, le jury attend des candidats une bonne familiarité avec la convergence uniforme et son utilisation pour justifier des régularités. Le théorème de Stone-Weierstrass est évidemment incontournable, dans ses différentes versions, constructives ou non. La complétude peut également être exploitée, par exemple en lien avec les équations différentielles ou intégrales. \r\rSur le second, la convolution et ses applications, ainsi que l'analyse de Fourier fournissent un large terrain d'exploration.\r\rPlusieurs prolongements s'offrent aux candidats solides : théorème de Baire et ses innombrables applications, espaces de fonctions holomorphes (théorème de Montel et ses applications, espaces de Hardy, etc.), espaces de fonctions régulières (fonctions lipschitziennes, $C^k$, classe de Schwartz), algèbres de Banach de fonctions (algèbre de convolution $L^1(R)$, algèbre du disque, algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, etc.), étude des parties compactes de $C(K)$ (K compact) voire de $L^p$.
Sans sortir du programme, le candidat dispose d'au moins deux thèmes très riches pour nourrir son plan : espaces de fonctions continues sur un compact, espaces $L^p$ sur le cercle ou sur la droite réelle. Sur le premier sujet, le jury attend des candidats une bonne familiarité avec la convergence uniforme et son utilisation pour justifier des régularités. Le théorème de Stone-Weierstrass est évidemment incontournable, dans ses différentes versions, constructives ou non. La complétude peut également être exploitée, par exemple en lien avec les équations différentielles ou intégrales. \r\rSur le second, la convolution et ses applications, ainsi que l'analyse de Fourier fournissent un large terrain d'exploration.\r\rPlusieurs prolongements s'offrent aux candidats solides : théorème de Baire et ses innombrables applications, espaces de fonctions holomorphes (théorème de Montel et ses applications, espaces de Hardy, etc.), espaces de fonctions régulières (fonctions lipschitziennes, $C^k$, classe de Schwartz), algèbres de Banach de fonctions (algèbre de convolution $L^1(R)$, algèbre du disque, algèbre de Wiener des séries de Fourier absolument convergentes, etc.), étude des parties compactes de $C(K)$ (K compact) voire de $L^p$.