Leçon #1493
Actif : true
Numero : 108
Titre : Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r
C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r
Rapport du jury 2015
C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.\r
C'est une leçon qui demande un minimum de culture mathématique. Peu de candidats voient l'utilité des parties génératrices dans l'analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.\r
Rapport du jury 2016
C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés en relation avec les groupes de permutations et les groupes linéaires ou de leurs sous-groupes. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés en relation avec les groupes de permutations et les groupes linéaires ou de leurs sous-groupes. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
Rapport du jury 2017
C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés qui peuvent être en relation avec les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes ; les groupes $Z/nZ$, fournissent aussi des exemples intéressants. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés qui peuvent être en relation avec les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes ; les groupes $Z/nZ$, fournissent aussi des exemples intéressants. La connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité de certains groupes.\r\rTout comme dans la leçon 106, la présentation du pivot de Gauss et de ses applications est envisageable.
Rapport du jury 2019
Il est indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués. C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Les groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s’attarder sur l’étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des dilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l’inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$), le groupe des isométries d’un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral. \r\rOn n’hésitera pas à illustrer comment la connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$ par exemple. \r\rS’il le souhaite, le candidat peut s’intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).
Il est indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués. C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Les groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s’attarder sur l’étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des dilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l’inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$), le groupe des isométries d’un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral. \r\rOn n’hésitera pas à illustrer comment la connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$ par exemple. \r\rS’il le souhaite, le candidat peut s’intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).
Rapport du jury 2020
Il est indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués. C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Les groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s’attarder sur l’étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des dilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l’inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$), le groupe des isométries d’un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.$$$$\r\r On n’hésitera pas à illustrer comment la connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$ par exemple. $$$$\r\r S’il le souhaite, le candidat peut s’intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).
Il est indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués. C’est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Les groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s’attarder sur l’étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des dilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l’inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$), le groupe des isométries d’un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.$$$$\r\r On n’hésitera pas à illustrer comment la connaissance de parties génératrices s’avère très utile dans l’analyse des morphismes de groupes ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$ par exemple. $$$$\r\r S’il le souhaite, le candidat peut s’intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).
Rapport du jury 2022
La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes\ret cycliques doivent être évoqués. C'est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Il\rest indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. Les groupes $Z/nZ$\rfournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou\rleurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s'attarder sur l'étude du\rgroupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre,\rsimplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des\rdilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l'inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$),\rle groupe des isométries d'un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs.\rÉventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^\times$\rsoit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.\rOn illustre comment la connaissance de parties génératrices s'avère très utile dans certaines situations,\rpar exemple pour l'analyse de morphismes de groupes, ou pour montrer la connexité par arcs de certains\rsous-groupes de $GL_n(R)$.\r\rS'il le souhaite, le candidat peut s'intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs\ret relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces\rapplications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal)
La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes\ret cycliques doivent être évoqués. C'est une leçon qui doit être illustrée par des exemples très variés. Il\rest indispensable de donner des parties génératrices pour tous les exemples proposés. Les groupes $Z/nZ$\rfournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou\rleurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$). Ainsi, on peut s'attarder sur l'étude du\rgroupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre,\rsimplicité de A5 par exemple). On peut présenter le groupe $GL(E)$ généré par des transvections et des\rdilatations en lien avec le pivot de Gauss, le calcul de l'inverse ou du rang (par action sur $M_{n,p}(K)$),\rle groupe des isométries d'un triangle équilatéral qui réalise S3 par identifications des générateurs.\rÉventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^\times$\rsoit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.\rOn illustre comment la connaissance de parties génératrices s'avère très utile dans certaines situations,\rpar exemple pour l'analyse de morphismes de groupes, ou pour montrer la connexité par arcs de certains\rsous-groupes de $GL_n(R)$.\r\rS'il le souhaite, le candidat peut s'intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs\ret relations. Pour aller plus loin, il est également possible de parler du logarithme discret et de ces\rapplications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal)
Rapport du jury 2023
La leçon doit être illustrée par des exemples de groupes très variés, dont il est indispensable de donner des parties génératrices. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués.\r\rLes groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$. Ainsi, on peut s'attarder sur l'étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut, en utilisant des parties génératrices pertinentes, présenter le pivot de Gauss, le calcul de l'inverse ou du rang d'une matrice, le groupe des isométries d'un triangle équilatéral. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.\r\rOn illustre comment la connaissance de parties génératrices s'avère très utile dans certaines situations, par exemple pour l'analyse de morphismes de groupes, ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$.\r\rPour aller plus loin,on peut s'intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).
La leçon doit être illustrée par des exemples de groupes très variés, dont il est indispensable de donner des parties génératrices. La description ensembliste du groupe engendré par une partie doit être connue et les groupes monogènes et cycliques doivent être évoqués.\r\rLes groupes $Z/nZ$ fournissent des exemples naturels tout comme les groupes de permutations, les groupes linéaires ou leurs sous-groupes (par exemple $SL_n(K)$, $O_n(R)$ ou $SO_n(R)$. Ainsi, on peut s'attarder sur l'étude du groupe des permutations avec différents types de parties génératrices en discutant de leur intérêt (ordre, simplicité de A5 par exemple). On peut, en utilisant des parties génératrices pertinentes, présenter le pivot de Gauss, le calcul de l'inverse ou du rang d'une matrice, le groupe des isométries d'un triangle équilatéral. Éventuellement, il est possible de discuter des conditions nécessaires et suffisantes pour que $(Z/nZ)^*$ soit cyclique ou la détermination de générateurs du groupe diédral.\r\rOn illustre comment la connaissance de parties génératrices s'avère très utile dans certaines situations, par exemple pour l'analyse de morphismes de groupes, ou pour montrer la connexité par arcs de certains sous-groupes de $GL_n(R)$.\r\rPour aller plus loin,on peut s'intéresser à la présentation de certains groupes par générateurs et relations. Il est également possible de parler du logarithme discret et de ces applications à la cryptographie (algorithme de Diffie-Hellman, cryptosystème de El Gamal).