Leçon #1491
Actif : true
Numero : 105
Titre : Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Il faut relier rigoureusement les notions d'orbites et d'action de groupe. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $A_5$ devrait aussi savoir montrer que $A_5$ est simple.\r\rL'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.\r\rComme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes du groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers. Il faut par exemple savoir faire le lien avec les actions de groupe sur un ensemble fini. Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles.\r
Il faut relier rigoureusement les notions d'orbites et d'action de groupe. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Des dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. Par ailleurs un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $A_5$ devrait aussi savoir montrer que $A_5$ est simple.\r\rL'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.\r\rComme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes du groupe symétrique. Les applications du groupe symétrique ne concernent pas seulement les polyèdres réguliers. Il faut par exemple savoir faire le lien avec les actions de groupe sur un ensemble fini. Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles.\r
Rapport du jury 2015
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, et, pour les candidats confirmés, dominer les problèmes de dénombrement qui en résultent. \r\rDes dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. \r\rPar ailleurs, un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $\mathfrak{A}_5$ devrait savoir donner des applications à la simplicité d'un groupe.\r\rL'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.\r\rComme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes d'un groupe, par exemple, à ceux du groupe symétrique. On note que les candidats connaissent en général les applications du groupe symétrique aux polyèdres réguliers de l'espace.\r
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, et, pour les candidats confirmés, dominer les problèmes de dénombrement qui en résultent. \r\rDes dessins ou des graphes illustrent de manière commode ce que sont les permutations. \r\rPar ailleurs, un candidat qui se propose de démontrer que tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à $\mathfrak{A}_5$ devrait savoir donner des applications à la simplicité d'un groupe.\r\rL'existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement.\r\rComme pour toute structure algébrique, il est souhaitable de s'intéresser aux automorphismes d'un groupe, par exemple, à ceux du groupe symétrique. On note que les candidats connaissent en général les applications du groupe symétrique aux polyèdres réguliers de l'espace.\r
Rapport du jury 2016
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs.\r\rL’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.\r\rLes applications sont nombreuses, il est très naturel de parler des déterminants, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement ou aux représentations des groupes des permutations.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs.\r\rL’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.\r\rLes applications sont nombreuses, il est très naturel de parler des déterminants, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement ou aux représentations des groupes des permutations.
Rapport du jury 2017
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. \r\rL’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.\r\rLes applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. \r\rL’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.\r\rLes applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Rapport du jury 2019
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes.Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.Il est bon d’avoir en tête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des permutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. On peut également parler du lien avec les groupes d’isométries des solides.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant par exemple aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes.Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement.Il est bon d’avoir en tête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des permutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un polynôme. On peut également parler du lien avec les groupes d’isométries des solides.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant par exemple aux automorphismes du groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Rapport du jury 2020
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement. Il est bon d’avoir en tête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des\rpermutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un\rpolynôme.$$$$\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant par exemple aux automorphismes du groupe symétrique, aux notions de centre et de simplicité, au cardinal des classes de conjugaison,\rà des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d’orbites et d’actions de groupes. Il faut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique (preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir déterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d’être capable de donner des systèmes de générateurs. L’existence du morphisme signature est un résultat non trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l’objet d’un développement. Il est bon d’avoir en tête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des\rpermutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d’un\rpolynôme.$$$$\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s’intéressant par exemple aux automorphismes du groupe symétrique, aux notions de centre et de simplicité, au cardinal des classes de conjugaison,\rà des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Rapport du jury 2022
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il\rfaut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique\r(preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir\rdéterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d'être\rcapable de donner des systèmes de générateurs. L'existence du morphisme signature est un résultat\rnon trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Il est bon d'avoir en\rtête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des\rpermutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d'un polynôme. On peut également parler du lien avec les groupes d'isométries des solides.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant par exemple aux automorphismes\rdu groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.
Parmi les attendus, il faut savoir relier la leçon avec les notions d'orbites et d'actions de groupes. Il\rfaut aussi savoir décomposer une permutation en cycles à supports disjoints, tant sur le plan théorique\r(preuve du théorème de décomposition), que pratique (sur un exemple). Il est important de savoir\rdéterminer les classes de conjugaisons du groupe symétrique par la décomposition en cycles, d'être\rcapable de donner des systèmes de générateurs. L'existence du morphisme signature est un résultat\rnon trivial mais ne peut pas constituer, à elle seule, l'objet d'un développement. Il est bon d'avoir en\rtête que tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique et de savoir calculer la signature des\rpermutations ainsi obtenues dans des cas concrets. Les applications sont nombreuses, il est très naturel de parler du déterminant, des polynômes symétriques ou des fonctions symétriques des racines d'un polynôme. On peut également parler du lien avec les groupes d'isométries des solides.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en s'intéressant par exemple aux automorphismes\rdu groupe symétrique, à des problèmes de dénombrement, aux représentations des groupes des permutations ou encore aux permutations aléatoires.