Leçon #1487
Actif : true
Numero : 101
Titre : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2013
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes.
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes.
Rapport du jury 2014
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL(2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2, 3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r
Rapport du jury 2015
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fni, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des fonctions, voire des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r
Il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche, plus subtile, via le morphisme qui relie le groupe agissant et le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fni, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des fonctions, voire des polynômes. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d'isométries d'un solide). Certains candidats décrivent les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. Enfin, on pourra noter que l'injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations dont il est facile de déterminer le caractère.\r
Rapport du jury 2016
Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide).\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$\rsur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront facilement en déterminer le caractère.
Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l'action de groupe : l'approche naturelle et l'approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l'ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide).\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $PGL( 2, F_q)$\rsur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q=2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront facilement en déterminer le caractère.
Rapport du jury 2017
Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l’action de groupe : l’approche naturelle et l’approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l’ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{F}_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront en déterminer le caractère.
Dans cette leçon, il faut bien dominer les deux approches de l’action de groupe : l’approche naturelle et l’approche via le morphisme du groupe agissant vers le groupe des permutations de l’ensemble sur lequel il agit. La formule des classes et ses applications immédiates sont incontournables. Des exemples de natures différentes doivent être présentés : actions sur un ensemble fini, sur un espace vectoriel (en particulier les représentations), sur un ensemble de matrices, sur des groupes ou des anneaux. Les exemples issus de la géométrie ne manquent pas (groupes d’isométries d’un solide). \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent aller plus loin en décrivant les actions naturelles de $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{F}_q)$ sur la droite projective qui donnent des injections intéressantes pour $q = 2,3$ et peuvent plus généralement en petit cardinal donner lieu à des isomorphismes de groupes. En notant que l’injection du groupe de permutations dans le groupe linéaire par les matrices de permutations donne lieu à des représentations, ils pourront en déterminer le caractère.
Rapport du jury 2019
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe $G$ sur un ensemble $X$ doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers $X$ et le morphisme de $G$ vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble $X$ donné, soit sur un groupe $G$ donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de $G$ comme stabilisateurs. Par ailleurs,la présentation doit illustrer comment l’étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d’isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe $G$ sur un ensemble $X$ doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers $X$ et le morphisme de $G$ vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble $X$ donné, soit sur un groupe $G$ donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de $G$ comme stabilisateurs. Par ailleurs,la présentation doit illustrer comment l’étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d’isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Rapport du jury 2020
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers X et le morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui découle des liens entre ces points de vue est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l’étude de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements,\rnotamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak_n$ sur $\{1,\ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations linéaires, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi \rpossible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l’organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l’appréciation. Les deux facettes de l’action d’un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l’application de $G \times X$ vers X et le morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui découle des liens entre ces points de vue est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l’étude de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements,\rnotamment via la formule de Burnside.\r\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak_n$ sur $\{1,\ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d’emprunter aussi à d’autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations linéaires, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d’isométries d’un solide ou d’un polygone régulier).\r\rPour aller plus loin, on peut aborder l’action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport ou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes de Sylow ou encore d’autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi \rpossible de s’intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Rapport du jury 2022
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l'organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l'appréciation. Les deux facettes de\rl'action d'un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l'application de $G \times X$ vers X et\rle morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour\robtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître\rdes sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer\rcomment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant\run représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les\ractions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment\rvia la formule de Burnside.\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{ 1, \ldots, n \}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres\rdomaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations\rde groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents\r(groupes d'isométries d'un solide ou d'un polygone régulier).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi\rpossible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Dans cette leçon, au-delà de la présentation du matériel théorique indispensable, le choix, l'organisation et la pertinence des illustrations sont des éléments forts de l'appréciation. Les deux facettes de\rl'action d'un groupe G sur un ensemble X doivent être maîtrisées : l'application de $G \times X$ vers X et\rle morphisme de G vers $\mathfrak{S}(X)$. La relation entre orbite et stabilisateur qui en découle est incontournable ainsi que des exemples de son utilisation. Il faut savoir utiliser des actions bien choisies pour\robtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître\rdes sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer\rcomment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant\run représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les\ractions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment\rvia la formule de Burnside.\rLes exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{ 1, \ldots, n \}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres\rdomaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations\rde groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents\r(groupes d'isométries d'un solide ou d'un polygone régulier).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(Z)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi\rpossible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Rapport du jury 2023
Le matériel théorique en accord avec le programme doit être présenté, accompagné d'illustrations pertinentes. Il faut pouvoir dégager l'intérêt des notions introduites avec des exemples d'actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside. Les exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d'isométries d'un polygone dans le plan ou d'un solide ou d'un polygone régulier dans l'espace).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(K)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.
Le matériel théorique en accord avec le programme doit être présenté, accompagné d'illustrations pertinentes. Il faut pouvoir dégager l'intérêt des notions introduites avec des exemples d'actions bien choisies pour obtenir des informations soit sur un ensemble X donné, soit sur un groupe G donné et faire apparaître des sous-groupes intéressants de G comme stabilisateurs. Par ailleurs, la présentation doit illustrer comment l'étude des orbites de certaines actions revient à classifier certains objets, soit en trouvant un représentant simple de chaque orbite, soit en dégageant des invariants caractérisant les orbites. Les actions de groupes interviennent aussi efficacement dans des problèmes de dénombrements, notamment via la formule de Burnside. Les exemples peuvent être internes à la théorie des groupes (action naturelle de $\mathfrak{S}_n$ sur $\{1, \ldots, n\}$, action par translation ou par conjugaison, etc). Mais il est souhaitable d'emprunter aussi à d'autres domaines (action sur des anneaux, des espaces de matrices ou des espaces de polynômes, représentations de groupes, groupes d'isométries, etc). La géométrie fournit aussi de nombreux exemples pertinents (groupes d'isométries d'un polygone dans le plan ou d'un solide ou d'un polygone régulier dans l'espace).\rPour aller plus loin, on peut aborder l'action de $PGL_2(K)$ sur la droite projective menant au birapport\rou celle de $SL_2(K)$ sur le demi-plan de Poincaré ou les preuves par actions de groupes des théorèmes\rde Sylow ou encore d'autres actions donnant lieu à des isomorphismes exceptionnels. Il est aussi possible de s'intéresser aux aspects topologiques ou différentiels liés à certaines actions.