Leçon #1359
Actif : false
Numero : 126
Titre : Exemples d’équations en arithmétique.2023
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Il s'agit d'une leçon nouvelle ou plus exactement d'une renaissance. On attend là les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, avec le lemme des noyaux. A ce sujet, il est important que le candidat connaisse l'image du morphisme du lemme des noyaux lorsque les nombres ne sont pas premiers entre eux. \r\rOn attend bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. \r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).\r
Il s'agit d'une leçon nouvelle ou plus exactement d'une renaissance. On attend là les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, avec le lemme des noyaux. A ce sujet, il est important que le candidat connaisse l'image du morphisme du lemme des noyaux lorsque les nombres ne sont pas premiers entre eux. \r\rOn attend bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$. \r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).\r
Rapport du jury 2015
Il s'agit d'une leçon nouvelle, ou plus exactement d'une renaissance. On y attend les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$.La leçon peut aussi dériver la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n= 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain.
Il s'agit d'une leçon nouvelle, ou plus exactement d'une renaissance. On y attend les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier $p$.La leçon peut aussi dériver la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n= 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain.
Rapport du jury 2016
Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. \r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax + by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p. \r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
Rapport du jury 2017
Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax +by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p.\r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
Dans cette leçon on doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax +by = d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss), les systèmes de congruences, mais aussi bien entendu la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p.\r\rLa leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain).
Rapport du jury 2019
Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur $\textbf{Z}$ mais aussi des équations dans $\textbf{Z}$/n$\textbf{Z}$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois.\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et mêmeFermat(pour $n=2$ , ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur $\textbf{Z}$ peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis.\r\rS’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points sur ces coniques.
Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur $\textbf{Z}$ mais aussi des équations dans $\textbf{Z}$/n$\textbf{Z}$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois.\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et mêmeFermat(pour $n=2$ , ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur $\textbf{Z}$ peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis.\r\rS’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points sur ces coniques.
Rapport du jury 2020
Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de base servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois.\r$$$$\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis.\r$$$$\r\rS’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur Q ou les corps finis.
Dans cette leçon, il est indispensable de s’intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de base servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d’utilisation effective du lemme chinois.\r$$$$\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l’utilisation de la réduction modulo un nombre premier p méritent d’être mis en œuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par des équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n=2$, ou pour les nombres premiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est de plus naturel de s’intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines carrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines des polynômes dans les corps finis.\r$$$$\r\rS’il le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur Q ou les corps finis.
Rapport du jury 2022
Dans cette leçon, il est indispensable de s'intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d'utilisation effective du lemme chinois.\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier\rp méritent d'être mis en oeuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par\rdes équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres\rpremiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est\rde plus naturel de s'intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines\rcarrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines\rdes polynômes dans les corps finis.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points\rsur ces coniques.
Dans cette leçon, il est indispensable de s'intéresser à des équations sur Z mais aussi des équations dans $Z/nZ$ et dans les corps finis. On doit présenter les notions de bases servant à aborder les équations de type $ax+by=d$ (identité de Bezout, lemme de Gauss). On doit présenter des exemples d'utilisation effective du lemme chinois.\r\rEnsuite, la méthode de descente de Fermat et l'utilisation de la réduction modulo un nombre premier\rp méritent d'être mis en oeuvre. La leçon peut aussi dériver vers la notion de factorialité, illustrée par\rdes équations de type Mordell, Pell-Fermat, et même Fermat (pour $n = 2$, ou pour les nombres\rpremiers de Sophie Germain). La résolution des systèmes linéaires sur Z peut être abordée. Il est\rde plus naturel de s'intéresser à la résolution des systèmes de congruences, à la recherche de racines\rcarrées dans les corps finis. Les candidats peuvent plus généralement aborder la recherche des racines\rdes polynômes dans les corps finis.\r\rS'ils le désirent, les candidats peuvent étudier les coniques sur les corps finis et la recherche de points\rsur ces coniques.