Leçon #1265
Actif : false
Numero : 150
Titre : Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.2022
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Cette leçon n'a pas souvent été prise, elle demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête.\r
Cette leçon n'a pas souvent été prise, elle demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête.\r
Rapport du jury 2015
Cette leçon demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête. On pourra aussi travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Cette leçon demande un certain recul. Les actions ne manquent pas et selon l'action, on pourra dégager d'une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites), d'autre part des algorithmes. On peut aussi, si l'on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres, ainsi que les adhérences d'orbites, lorsque la topologie s'y prête. On pourra aussi travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Rapport du jury 2016
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...), d’autre part des algorithmes comme le pivot de Gauss. On peut aussi, si l’on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...), d’autre part des algorithmes comme le pivot de Gauss. On peut aussi, si l’on veut aborder un aspect plus théorique, faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. \r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Rapport du jury 2017
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss, méritent aussi d’être présentés dans cette leçon. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est pertinent de faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Dans cette leçon il faut présenter différentes actions (congruence, similitude, équivalence, ...) et dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants (rang, matrices échelonnées réduites...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss, méritent aussi d’être présentés dans cette leçon. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est pertinent de faire apparaître à travers ces actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête.\r\rS’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Rapport du jury 2019
Le choix des exemples doit être fait avec soin, en évitant de présenter des actions dont on ne maîtrise pas les bases. $\\$ Dans un premier temps, il faut présenter différentes actions (translation à gauche, congruence,similitude, équivalence, ...) et quelques orbites. Dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants simples (matrices échelonnées réduites, rang...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss. On peut détailler le cas particulier de l’action de $O_n(\textbf{R})$ sur S_n($\textbf{R})$. $\\$ Les candidats peuvent s’intéresser au fait que les polynômes caractéristiques et minimaux ne suffisent pas à caractériser les classes de similitudes. Dans le cas de l’action par congruence, le théorème de Sylvester et son interprétation en termes de changements de bases méritent de figurer dans la leçon. Il est possible de limiter l’action aux matrices de produits scalaires et de caractériser les éléments des stabilisateurs. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est possible de faire apparaître à travers différentes actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.
Le choix des exemples doit être fait avec soin, en évitant de présenter des actions dont on ne maîtrise pas les bases. $\\$ Dans un premier temps, il faut présenter différentes actions (translation à gauche, congruence,similitude, équivalence, ...) et quelques orbites. Dans chaque cas on pourra dégager d’une part des invariants simples (matrices échelonnées réduites, rang...) et d’autre part des algorithmes, comme le pivot de Gauss. On peut détailler le cas particulier de l’action de $O_n(\textbf{R})$ sur S_n($\textbf{R})$. $\\$ Les candidats peuvent s’intéresser au fait que les polynômes caractéristiques et minimaux ne suffisent pas à caractériser les classes de similitudes. Dans le cas de l’action par congruence, le théorème de Sylvester et son interprétation en termes de changements de bases méritent de figurer dans la leçon. Il est possible de limiter l’action aux matrices de produits scalaires et de caractériser les éléments des stabilisateurs. Si l’on veut aborder un aspect plus théorique, il est possible de faire apparaître à travers différentes actions quelques décompositions célèbres ; on peut décrire les orbites lorsque la topologie s’y prête. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent travailler sur des corps finis et utiliser le dénombrement dans ce contexte.