Leçon #1038
Actif : false
Numero : 260
Titre : Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.2019
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebichev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème limite central). \r\rLe comportement des moyennes de Cesàro pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié. \r\rLa notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée. \r
Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebichev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème limite central). \r\rLe comportement des moyennes de Cesàro pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié. \r\rLa notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée. \r
Rapport du jury 2015
Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite).Le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié.La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée.
Le jury attend des candidats qu'ils donnent la définition des moments centrés, qu'ils rappellent les implications d'existence de moments. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite).Le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n'admettant pas d'espérance pourra être étudié.La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée.
Rapport du jury 2016
Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des L p ). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binômiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique. \r\rPour aller plus loin, le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.
Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des L p ). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binômiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebychev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (loi des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique. \r\rPour aller plus loin, le comportement des moyennes pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.
Rapport du jury 2017
Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des $L^p$). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebyshev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique.\r\rPour aller plus loin, le comportement des moyennes empiriques pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.
Le jury attend des candidats qu’ils donnent la définition des moments centrés, qu’ils rappellent les implications d’existence de moments (décroissance des $L^p$). Le candidat peut citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebyshev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments pourra être présentée ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique.\r\rPour aller plus loin, le comportement des moyennes empiriques pour une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées n’admettant pas d’espérance pourra être étudié. Pour les candidats suffisamment à l’aise avec ce sujet, l’espérance conditionnelle pourra aussi être abordée.
Rapport du jury 2019
Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020 ; les notions qui s’y rapportent peuvent être exploitées dans les leçons 261, 262, 264, 266. $\\$ Les candidats doivent connaître la définition des moments centrés et les implications d’existence de moments (décroissance des $L^p$). Les connaissances sur les variables aléatoires à densité sont parfois fragiles. Le candidat doit pouvoir citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebyshev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments est importante ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique.
Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020 ; les notions qui s’y rapportent peuvent être exploitées dans les leçons 261, 262, 264, 266. $\\$ Les candidats doivent connaître la définition des moments centrés et les implications d’existence de moments (décroissance des $L^p$). Les connaissances sur les variables aléatoires à densité sont parfois fragiles. Le candidat doit pouvoir citer — mais doit surtout savoir retrouver rapidement — les espérances et variances de lois usuelles, notamment Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, exponentielle, normale. La variance de la somme de variables aléatoires indépendantes suscite souvent des hésitations. Les inégalités classiques (de Markov, de Bienaymé-Chebyshev, de Jensen et de Cauchy-Schwarz) pourront être données, ainsi que les théorèmes de convergence (lois des grands nombres et théorème central limite). La notion de fonction génératrice des moments est importante ainsi que les liens entre moments et fonction caractéristique.