Leçon #1007
Actif : false
Numero : 202
Titre : Exemples de parties denses et applications.2019
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Cette leçon permet d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier. \r
Cette leçon permet d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier. \r
Rapport du jury 2015
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme par exemple les sous-groupes de $\mathbb{R}$ et leurs applications. Cette leçon permet aussi d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles par séries de Fourier.\r
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme par exemple les sous-groupes de $\mathbb{R}$ et leurs applications. Cette leçon permet aussi d'explorer les questions d'approximations de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Au delà des exemples classiques, les candidats plus ambitieux peuvent aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles par séries de Fourier.\r
Rapport du jury 2016
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de R et leurs applications, ou encore les critères de densité dans un espace de Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité.\r\rPour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$ . Il est également possible de parler de l’équirépartition.
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de R et leurs applications, ou encore les critères de densité dans un espace de Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité.\r\rPour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$ . Il est également possible de parler de l’équirépartition.
Rapport du jury 2017
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de $R$ et leurs applications (par exemple la densité des $(\cos(n\theta)_{n \in N})$, ou encore les critères de densité dans un espace\rde Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers (le choix du point de vue probabiliste exige d’en maîtriser tous les aspects) suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité. Des exemples matriciels trouvent leur place dans cette leçon comme l’étude de l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans C (et même dans R pour les candidats voulant aller plus loin.)\r\rPour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$. Il est également possible de parler de l’équirépartition.
Il ne faut pas négliger les exemples élémentaires comme les sous-groupes additifs de $R$ et leurs applications (par exemple la densité des $(\cos(n\theta)_{n \in N})$, ou encore les critères de densité dans un espace\rde Hilbert. Le théorème de Weierstrass via les polynômes de Bernstein peut être abordé à des niveaux divers (le choix du point de vue probabiliste exige d’en maîtriser tous les aspects) suivant que l’on précise ou pas la vitesse de convergence voire son optimalité. Des exemples matriciels trouvent leur place dans cette leçon comme l’étude de l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans C (et même dans R pour les candidats voulant aller plus loin.)\r\rPour aller plus loin, la version plus abstraite du théorème de Weierstrass (le théorème de Stone-Weierstrass) est aussi intéressante et a de multiples applications. Cette leçon permet aussi d’explorer les questions d’approximation de fonctions par des polynômes et des polynômes trigonométriques, ou plus généralement la densité de certains espaces remarquables de fonctions dans les espaces de fonctions continues, ou dans les espaces $L^p$. Il est également possible de parler de l’équirépartition.
Rapport du jury 2019
Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020. Ses thèmes se retrouvent, entre autres, dans les leçons 201, 209, 213, ou 228. $\\$ En particulier, les exemples fondamentaux comme la densité de $\textbf{Q}$ dans $\textbf{R}$, l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans $\textbf{C}$, la densité de fonctions régulières dans des espaces de Lebesgue,... doivent être bien acquis. Le théorème de Weierstrass, ou, pour aller plus loin, le théorème de Stone-Weierstrass, a de nombreuses applications qui doivent être connues et qui peuvent être exploitées sous d’autres intitulés.
Cette leçon ne sera pas utilisée pour la session 2020. Ses thèmes se retrouvent, entre autres, dans les leçons 201, 209, 213, ou 228. $\\$ En particulier, les exemples fondamentaux comme la densité de $\textbf{Q}$ dans $\textbf{R}$, l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans $\textbf{C}$, la densité de fonctions régulières dans des espaces de Lebesgue,... doivent être bien acquis. Le théorème de Weierstrass, ou, pour aller plus loin, le théorème de Stone-Weierstrass, a de nombreuses applications qui doivent être connues et qui peuvent être exploitées sous d’autres intitulés.